Si te
pregunto ¿Cuál es la suma de todos los números enteros en la forma 1+2+3+4…..
hasta el infinito? Te dejo unos segundos para pensarlo… Imagino que lógicamente
has contestado infinito. Parece lo más lógico ¿Y qué pensarías si te dijera que
el resultado realmente es -1/12? Antes de mandarme a la caca, déjame que te
explique porque, aunque no se las suficientes matemáticas para entender en
detalle el proceso completo que lleva a este resultado, algo me hace pensar que
esto es verdad (entre otras cosas que esté totalmente aceptado entre expertos
en matemáticas en general). Para aclarar un poco el porqué de esta confianza,
voy a narrar una microhistoria de las matemáticas destacando otras ideas que no
cayeron muy bien en su momento.
Hay un
aspecto curioso de las matemáticas que es difícil de apreciar si nadie te llama
la atención sobre él. De alguna forma esta diciplina, tal y como la estudiamos
en el colegio, es una especie de viaje a lo largo de la historia que nunca
llega hasta el momento presente. Como ocurre también en la asignatura de
historia en la que por más que lo intente el profesor, parece imposible pasar
de la Guerra Civil en historia de españa o de la Guerra Mundial en historia universal.
Cuando estudiamos matemáticas, estudiamos aspectos de las mismas que han sido
descubiertos hace miles de años. Es curioso que en numerosos casos, la materia
incluso se presenta en orden cronológico, lo que por otro lado es lógico, ya
que a lo largo de la historia cada vez se descubren teoremas y principios más
complejos. De la misma forma los estudiantes de matemáticas necesitan empezar
por lo más sencillo y progresar hacia conocimientos más sofisticados.
Leyendo
sobre matemáticas por hobby, he descubierto prácticamente nada de las
matemáticas del siglo XX se estudian hasta llegados los niveles más altos, algo
en licenciatura y sobre todo en postgrado. Es algo que cabe esperar ya que
nuestro saber acumulado en esta área es tan sumamente vasto que ni en una vida
entera se puede abarcar en detalle. No se empiezan las casas por el tejado, y
los cimentos de las matemáticas se encuentran su suelo firme hace miles de
años.
De pequeños, antes de nada aprendemos a
contar, que es probablemente el primer conocimiento matemático usado por los
humanos. Luego se nos introduce en el mundo de aritmética, haciendo
manipulaciones con números enteros: sumas, restas, multiplicaciones y
divisiones básicamente. Esto es algo que ya sabían hacer los sumerios en su momento,
y prácticamente todas las civilizaciones relevantes han desarrollado algún tipo
de aritmética básica, para llevar al día las cuentas de sus intercambios
comerciales. Con el paso de los años, en la escuela corren los siglos de
historia matemática y llegamos al mundo de los griegos, que eran grandes
expertos en geometría. Los sumerios, babilonios y egipcios ya usaban la
geometría con gran habilidad, pero son los griegos lo que llevan a esta a un
nuevo plano de creatividad y complejidad. En esta época aprendemos el todo
poderoso Teorema de Pitágoras, los nombres de los distintos polígonos y
poliedros y las fórmulas para encontrar sus áreas. También excedieron los
griegos en el uso de fracciones y proporciones. Tanto entusiasmaban las
fracciones a los griegos que nos les entraba en la cabeza el que un número no
se pudiera expresar como un fracción de números enteros. Entre los más
extremistas estaban los discípulos de Pitágoras, alguno de los cuales llegaron
a suicidarse al descubrir una nueva y aterradora realidad matemática: los
números irracionales. Los Pitagóricos no eran solo matemáticos en el sentido
moderno de la palabra. Eran una secta religiosa que veneraba ciertas
propiedades de los números y de las formas geométricas, su pureza y perfección.
Cuenta una leyenda que un día en el mar, un miembro del culto llamado Hipaso,
meditando sobre un triángulo rectángulo con dos catetos iguales a la unidad, se
dio cuenta de que la hipotenusa de este triángulo no se podía expresar como el
resultado de una fracción de números enteros. Se dice que sus compañeros le
tiraron de la barca al mar y le dejaron morir por su osadía. Cierta o no la
historia, hoy sabemos que este número es la raíz cuadrada de 2. Un número
irracional, de esos que tienen infinitos decimales, como la superestrella
matemática pi. Ya ves, algo que tanto aterraba a los antiguos, hoy en día nosotros
lo usamos con total naturalidad.
Los números
decimales tienen también su propia historia. Parece que los chinos fueron los
primeros en usarlos y que llegaron a Europa, como no, a través de los árabes.
En Europa su uso se extendió gracias al comercio, ya que eran una herramienta
ideal para contar partes más pequeñas que una unidad de una cierta mercancía.
También es gracias a un uso comercial que se extendió uno de nuestros conceptos
matemáticos más comunes, lo números negativos. Estos se usaban, escritos en
tinta roja, para anotar deudas. De ahí que nuestras cuentas se queden en
“números rojos”.
Aunque los
europeos ya hacían sus cuentas durante la Edad Media, los grandes titanes de
las matemáticas en esta época eran los árabes, que nos encontramos normalmente
el llegar a la secundaria con las ecuaciones. También los sumerios, como no, ya
utilizaban ecuaciones para resolver problemas. Pero probablemente la personalidad
más asociada a estas es el de Al-Juarismi. Este gran filósofo musulmán de cuyo
nombre proviene el término algoritmo, es uno de los más grandes matemáticos de
la historia. En su libro, “´Hisab al-yaber wa al muqabala”, es el primero en
desarrollar de forma sistemática, métodos para resolver ecuaciones de primer y
segundo grado. Y del nombre del libro, más concretamente de la palabra
al-yaber, proviene la palabra algebra. Las matemáticas árabes también trajeron
una de las grandes polémicas matemáticas de todos los tiempos. El cero. A más
de un filósofo no le entraba en la cabeza que se pudiera usar un símbolo para
significar nada. Nada es “nada” y no hay forma de expresarlo con “algo”. No
parece que les hayamos hecho mucho caso. También fueron los matemáticos del
mundo islámico los que hicieron despegar realmente el estudio de la
trigonometría, a partir de precedentes indios y griegos. La motivación se debía
en gran parte a que para determinar las festividades islámicas, regidas por el
calendario lunar, es necesario calcular el movimiento de la luna en relación al
resto de astros. La trigonometría también era muy útil en la astronomía y la
geografía y para ayudarse, los matemáticos islámicos desarrollaron tablas para
calcular las distintas funciones trigonométricas:
seno, coseno, tangente…
Y con las
aportaciones de los grandes matemáticos del mundo arabo-islámico llegamos hasta
el final de la secundaria, que nos deja colgados en plena Edad Media
matemática. Hay que llegar al bachillerato para aprender sobre los ingenios
matemáticos más recientes, por lo que estos a veces ya no suenan tan
familiares. Muchos de estos descubrimientos están entre los que fueron
recibidos con gran escepticismo en su momento. En el siglo XVII por ejemplo,
Newton y Leibniz descubren paralelamente y por separado el cálculo
infinitesimal. La idea es utilizar operaciones con longitudes y áreas
extremadamente pequeñas como una aproximación a un resultado. Imagina como
ejemplo medir el área de una especie de cuadrado cerrado en la parte de arriba
por una curva irregular tipo montaña rusa. Antes del cálculo infinitesimal,
hallar su área era misión imposible. Pero utilizando una pequeña argucia,
dividiendo está en miles de pequeños prismas cuyas alturas casan con la curva,
podemos hacerlo. De hecho, cuanto más pequeños sean estos, más preciso el
resultado. Para resolver
el problema, solo hay que buscar una forma de sumar el
área de todos los prismas. Este concepto está muy relacionado con el de límite,
que implica que por ejemplo que una suma infinita de términos como
1/2+1/4+1/8... que tiende a acercarse a uno sin llegar jamás a alcanzarlo, se
puede considerar a efectos prácticos simplemente 1. De esta forma se solucionó
la paradoja de Zenón, que había están causando dolores de cabeza a los
matemáticos por siglos. En ella un corredor no puede llegar nunca a su destino
porque tiene que recorrer la mitad de la distancia, pero antes la mitad de la
mitad, y antes la mitad de la mitad de la mitad y así eternamente. Asumiendo
que la suma de todas estas mitades es uno, se acabó el problema. Pero no todo
el mundo quedó convencido con este razonamiento, que para muchos era más bien
un truco sucio. El crítico más conocido es Obispo Berkeley que bautizó el
cálculo infinitesimal como “el fantasma de las cantidades muertas”.
el problema, solo hay que buscar una forma de sumar el
área de todos los prismas. Este concepto está muy relacionado con el de límite,
que implica que por ejemplo que una suma infinita de términos como
1/2+1/4+1/8... que tiende a acercarse a uno sin llegar jamás a alcanzarlo, se
puede considerar a efectos prácticos simplemente 1. De esta forma se solucionó
la paradoja de Zenón, que había están causando dolores de cabeza a los
matemáticos por siglos. En ella un corredor no puede llegar nunca a su destino
porque tiene que recorrer la mitad de la distancia, pero antes la mitad de la
mitad, y antes la mitad de la mitad de la mitad y así eternamente. Asumiendo
que la suma de todas estas mitades es uno, se acabó el problema. Pero no todo
el mundo quedó convencido con este razonamiento, que para muchos era más bien
un truco sucio. El crítico más conocido es Obispo Berkeley que bautizó el
cálculo infinitesimal como “el fantasma de las cantidades muertas”.
Otro
concepto muy polémico es el de los números imaginarios. En la Italia del
renacimiento, las matemáticas florecieron rápidamente y se sabía cómo resolver
ecuaciones de primer y segundo grado. Pero algunas ecuaciones se consideraban
irresolubles. Uno de estos casos, eran las ecuaciones que tenían como uno de
sus términos la raíz cuadrada de uno como en x=√-1. La raíz
cuadrada de un número es otro que multiplicada por sí mismo, o expresado de
otra forma, elevado al cubo, tiene como resultado el término original. Como
todos sabemos + x + = +, pero al mismo tiempo – x – = +. Por lo tanto el
cuadrado de un número negativo es positivo. Así que buscar la raíz cuadrada de
-1 no parece tener mucho sentido. A pesar de ello el gran y atípico matemático,
vividor y ludópata Girolamo Cardano comenzó a introducir la raíz cuadrada de -1
para solucionar algunos problemas. Para su propio disgusto, porque detestaba
tener que hacerlo. Pero fue otro italiano, Rafael Bombelli quien fijo por primera vez las reglas para
hacer operaciones con números imaginarios. La raíz de -1 mantuvo un perfil bajo
por un par de siglos. Rene descartes ayudo a normalizar su uso, pero también
dio a los números que se forman en
combinación con esta raíz el nombre de imaginarios, con un claro sentido
despectivo. Este nombre caló y hoy en día aún se les conoce como números
imaginarios, y de hecho el símbolo que los representa la raíz de -1 es “i”. Con
i se pueden formar otro núemeros imaginarios: 2i, 5i, 123i. Estos junto a los
números reales forman el conjunto de los números complejos. No fue hasta Los
siglos XVIII y XIX con grandes genios como Euler y Gauss, que los números
imaginarios tuvieron su oportunidad para impresionar al mundo. Aunque en
esencia siguen siendo tan raros como el primer día, hoy en día los números
imaginarios son usados y apreciados por millones de ingenieros y científicos en
todo el mundo. De hecho hay muchos problemas de física que no se pueden
resolver sin recurrir al uso de números imaginarios.
A medida que avanzamos a lo largo de los siglos XIX y XX, las nuevas
matemáticas aparecidas en este momento histórico comienzan a ser un gran
desconocido para el gran público. Estas se enseñan en los segundos ciclos de
las carreras de grado, o incluso exclusivamente en postgrados. Entre estos
campos están la teoría de grupos, que trata de las relaciones que se pueden
establecer entre distintos de elementos, ya sean números o no, y de las
operaciones a las que se les puede someter. Las geometrías no euclidianas que
se centran en superficies y espacios curvos, sean cóncavos o convexos. En esta
área nos podemos encontrar triángulos cuyos ángulos suman más de 180º. Uno de
las áreas de estudio más curiosas y extrañas es la topología. Un chiste común
entre matemáticos es que los todólogos no pueden distinguir una taza de un
donut. La idea es que la topología se centra en las propiedades intrínsecas de
la geometría de un objeto en particular, pero las longitudes se pueden alterar
a voluntad, como si los objetos estuvieran hechos de una goma increíblemente
elástica. De esta forma, un cubo, una esfera o una pirámide son
indistinguibles. Lo mismo sucede con un donut y una taza. Sin embargo una
esfera no puede convertirse en un donut. Nuca tendrá un agujero por mucho que
la estires.
Como veis, la historia de las matemáticas, como la de la ciencia en
general, está llena de nuevos descubrimientos misteriosos y extraños, que nadie
quiere admitir en el momento de su descubrimiento. Pero que con los años se
convierten en piezas clave para el progreso en todo tipo de áreas de
investigación, tanto en las matemáticas más puras como en la física. He
introducido este artículo con la idea de que sumando todos los números naturales,
1+2+3+4… hasta el infinito, obtenemos como resultado -1/12. Lo hago así, porque
es algo tan absurdo que parece hasta ofensivo mencionarlo. No entra en cabeza
humana que sumando todos los números hasta el infinito al final nos encontremos
con una fracción de lo más normal y encima en negativo. Me ha parecido una
buena forma de introducir una aspecto clave de la historia de las matemáticas y
la ciencia en general, y es que constantemente aparecen ideas que a una
generación le pueden parecer estúpidas y repelentes, que con los años se
consolidan y se convierten en verdades como templos, y en herramientas que
permiten un desarrollo humano antes impensable. Este es el caso de los números
irracionales como pi, de los números negativos, del cálculo infinitesimal o los
números imaginarios. De la misma forma hoy en día este ∞=-1/12, puede parecer
un tanto arbitrario. Pero a menudo, en problemas de física cuántica, cuando
aparecen infinitos, lo que normalmente es un callejón sin salida en física,
sustituir algunos de estos por -1/12, desbloquea la operación y los resultados
tienen sentido y contrastan con las mediciones experimentales. La forma más
común para llegar a este resultado es la función theta de Riemann, que es lo
suficientemente sofisticada para que yo no tenga muy claro cómo explicarla.
Pero, existen formas de llegar a ella de forma más sencilla, mediante sumas de
series infinitas. Debajo pongo un par de links a un video que desarrolla la
parte técnica para quien quiera echarles un ojo. Están en inglés, pero lo van describiendo
todo clarito y también en lenguaje
matemático que es bastante internacional.
Los fragmentos de historia de la matemática que esbozo
provienen de distintos libros, pro sobre todo de dos de Ian Stewart: Belleza y
Verdad, una historia de la simetría, Taming the infinite: The story of
Mathematics from the first numbers to chaos theory. Desgraciadamente he
extraviado ambos, así que cuando ha sido necesario he refrescado mi memoria con
la Wikipedia
Respecto a los videos mencionado:
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